Josef Klimeš se narodil 15. ledna 1928 v Měříně. Po ukončení středoškolského vzdělání na reálném gymnáziu ve Velkém Meziříčí v roce 1947 pokračoval ve studiu na Karlově univerzitě, kde se věnoval oboru Dějiny umění a estetika. Soukromě se také vzdělával v modelování u profesora Karla Lidického.

V letech 1949 až 1954 studoval na Akademii výtvarného umění v Praze v ateliéru Jana Laudy. Po absolvování vojenské služby v letech 1954-1956 začal pracovat pro etablované sochaře a později se podílel na realizaci českého pavilonu na výstavě Expo 58.

Mezi lety 1960 a 1970 byl členem výtvarnické skupiny Etapa. V roce 1991 se přidal k spolku výtvarných umělců Mánes. Od roku 1994 do roku 1997 zastával pozici pedagoga na Fakultě architektury ČVUT.

Zemřel 12. ledna 2018 v Praze.