František Antonín Jelínek se narodil 8. března 1890 v Praze-Novém Městě. Jeho rodiče byli zlatník Antonín Jelínek a švadlena Alžběta Rožovská. Od mládí projevoval zájem o malbu a v roce 1906 složil zkoušky na c. k. Malířskou akademii v Praze, kde studoval u profesorů Bohumíra Roubalíka, Vlaha Bukovace a Hanuše Schwaigera. Absolvoval své studium v roce 1911 a následně strávil roční studijní pobyt v Itálii s podporou Hlávkovy nadace.

Během první světové války pracoval jako voják-malíř na restaurování Asamových fresek v kostele sv. Mikuláše na Staroměstském náměstí v Praze. Po válce se oženil s Růženou Kalouskovou a usadil se na Lipnici nad Sázavou. Zde setkal s malířem Jaroslavem Panuškou a pravděpodobně i se spisovatelem Jaroslavem Haškem. V Kochánově postavil letní dům a později velkou vilu s ateliérem. Pracoval převážně v Praze, kde měl ateliér, a specializoval se na portrétní malbu. Mezi jeho portréty patří i president Tomáš Garrigue Masaryk a mnoho dalších významných osobností.

Po druhé světové válce se natrvalo usadil v Kochánově a zaměřil se na malbu krajin, květin a starých zákoutí města Světlé nad Sázavou. Byl členem Jednoty umělců výtvarných a pravidelně se účastnil jejich výstav v Praze. V 60. letech vedl ve Světlé školu pro amatérské malíře a vystavoval ve městě a okolí. Zemřel v Kochánově dne 26. února 1977 a je pohřben v rodinné hrobce v Praze na Olšanech.