Jiří Harcuba se narodil 6. prosince 1928 v Harrachově, v rodině s dlouhou tradicí ve sklářském průmyslu. V letech 1942–1945 se vyučil rytcem skla v harrachovské firmě Rudolf Endler. Poté absolvoval Státní odbornou školu v Novém Boru, kde studoval u profesorů Karla Hrodka, Josefa Michala Hospodky a Stanislava Libenského.

V roce 1949 pokračoval ve studiích na Vysoké škole uměleckoprůmyslové v Praze v ateliéru užité plastiky a glyptiky profesora Karla Štipla. Během své kariéry působil jako lektor v rytecké dílně na VŠUP a postupně se vypracoval na odborného asistenta a vedoucího oboru sochařství a rytectví v ateliéru profesora Stanislava Libenského.

Jiří Harcuba byl významný český sklářský výtvarník, glyptik a medailér. Jeho práce byly ovlivněny jeho hlubokým vzděláním a uměleckým nadáním. V období normalizace byl politicky perzekvován a uvězněn kvůli svým názorům a tvorbě. Po propuštění se stal samostatným výtvarníkem, medailérem a pedagogem.

Jiří Harcuba se v druhé polovině 70. let začal stále častěji účastnit mezinárodních akcí a výstav. V letech 1983–1989 přednášel na letní sklářské škole v Pilchucku ve Washingtonu, USA, a také na různých univerzitách v Americe a Velké Británii.

Roku 1990 byl rehabilitován a jmenován profesorem a vedoucím ateliéru kovu, šperku a glyptiky na Vysoké škole uměleckoprůmyslové v Praze. V letech 1991–1994 zastával funkci rektora VŠUP. Po celý svůj život se věnoval výtvarnému umění, rytí skla a pedagogické činnosti.

Jiří Harcuba zemřel 26. července 2013 v Praze ve věku 84 let, zanechávaje po sobě významnou stopu v oblasti sklářství a glyptiky.